Símbolos, conectores y tablas de verdad: el instrumental formal con el que la filosofía analiza la validez de los razonamientos y construye cadenas argumentativas.
«La lógica es la anatomía del pensamiento.» — Atribuido a William Hamilton
La lógica proposicional trabaja con enunciados declarativos: oraciones de las que tiene sentido preguntar si son verdaderas o falsas. A ese valor se le llama valor de verdad, y se codifica así: 1 = verdadero · 0 = falso.
«Quito es la capital del Ecuador.» → 1
«2 + 2 = 5.» → 0
«Está lloviendo.» → 1 o 0 según el caso
«¿Qué hora es?» → pregunta
«¡Cierra la puerta!» → orden
«Ojalá llueva.» → deseo
«x + 1 = 3» → enunciado abierto
Bivalencia: toda proposición es 1 o 0, sin tercer valor.
No contradicción: ninguna proposición es 1 y 0 a la vez.
p, q, r…
Las variables proposicionales (p, q, r, s…)
representan proposiciones simples. Los conectores lógicos las enlazan
para formar fórmulas o proposiciones compuestas.
| Nombre | Símbolo | Se lee | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Negación | ~ | «no p» | ~p · «No está lloviendo.» |
| Conjunción | ∧ | «p y q» | p ∧ q · «Llueve y hace frío.» |
| Disyunción | ∨ | «p o q» (al menos uno) | p ∨ q · «Estudio o trabajo.» |
| Disyunción exclusiva | ⊻ | «o p o q» (uno, no ambos) | p ⊻ q · «O café o té.» |
| Implicación material | → | «si p, entonces q» | p → q · «Si llueve, me mojo.» |
| Bicondicional | ↔ | «p si y solo si q» | p ↔ q · «Vivo si y solo si respiro.» |
| Negación conjunta | ↓ | «ni p ni q» | p ↓ q · «Ni estudio ni trabajo.» |
~, luego ∧, después ∨ y ⊻,
luego → y por último ↔. Los paréntesis siempre mandan.
Una tabla de verdad muestra el valor de una fórmula para todas las combinaciones posibles de valores de sus variables. Se construye siempre en el mismo orden.
Se cuentan las variables proposicionales diferentes: n.
Por ejemplo, en (p ∧ q) → r hay 3 variables.
Se aplica 2n. Con 1 variable → 2 filas; con 2 → 4; con 3 → 8; con 4 → 16. Cada fila es una combinación posible.
La primera columna se parte en dos mitades (mitad 1, mitad 0). La segunda alterna bloques de 1, la tercera bloques de 2, la cuarta bloques de 4… Así ninguna combinación se repite ni se omite.
Se resuelven primero los paréntesis más internos y, dentro de ellos, según la jerarquía de conectores. Cada subfórmula recibe su propia columna.
La última columna corresponde a la fórmula completa. Es la que se lee para decidir si la fórmula es tautología, contradicción o contingencia.
Es el único conector monádico: afecta a una sola proposición. Su función es invertir el valor de verdad de la proposición a la que se aplica.
Si p = 1, entonces ~p = 0; si p = 0,
entonces ~p = 1.
p = «Llueve», entonces ~p = «No llueve».
Como solo hay una variable, la tabla tiene 21 = 2 filas.
| p | ~p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
La conjunción es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas. Basta que una sola sea falsa para que toda la conjunción sea falsa.
Es un conector exigente: no admite excepciones. En una tabla con dos variables hay 22 = 4 filas, y solo una de ellas da 1.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Es la disyunción inclusiva: es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones es verdadera. Solo es falsa cuando ambas son falsas.
En la tabla de 4 filas, tres resultan 1 y solo una da 0. Es el conector más permisivo.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Es verdadera cuando las dos proposiciones tienen valores distintos, y falsa cuando coinciden. Excluye la posibilidad de que ambas sean verdaderas.
Su columna es el inverso exacto de la del bicondicional: es 1 en las filas «mixtas» y 0 en las filas «iguales».
| p | q | p ⊻ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
p es el antecedente y q el consecuente. La implicación solo es falsa en un caso: cuando el antecedente es 1 y el consecuente es 0. En todos los demás casos es verdadera.
Es el conector que más extraña al principio: cuando el antecedente es 0, la implicación es 1 (verdad vacua), porque la promesa condicional no se ha incumplido.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Es verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (los dos 1 o los dos 0), y falso cuando tienen valores distintos.
Expresa una doble implicación: p → q y q → p
al mismo tiempo. Es la herramienta para demostrar equivalencias lógicas.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Es la negación de la disyunción: p ↓ q equivale a
~(p ∨ q). Solo es verdadera cuando ambas proposiciones son falsas.
Se le llama negación conjunta porque niega a las dos a la vez. Es el conector más restrictivo de todos: únicamente una de las cuatro filas da 1.
| p | q | p ↓ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| Operador | Símbolo | Se lee | Es verdadero (1) cuando… · patrón de su columna |
|---|---|---|---|
| Negación | ~ | «no p» | p es 0. 0 1 — invierte siempre. |
| Conjunción | ∧ | «p y q» | ambas son 1. 1 0 0 0 |
| Disyunción | ∨ | «p o q» | al menos una es 1. 1 1 1 0 |
| Disyunción exclusiva | ⊻ | «o p o q» | tienen valores distintos. 0 1 1 0 |
| Implicación material | → | «si p, entonces q» | no ocurre que p sea 1 y q sea 0. 1 0 1 1 |
| Bicondicional | ↔ | «p si y solo si q» | tienen el mismo valor. 1 0 0 1 |
| Negación conjunta | ↓ | «ni p ni q» | ambas son 0. 0 0 0 1 |
⊻ es exactamente la negación de la de
↔; la de ↓ es la negación de la de ∨.
Con un solo conector, como ↓, pueden definirse todos los demás.
Paso 1: dos variables distintas (p, q) → 22 = 4 filas.
Paso 2: columnas auxiliares en orden de jerarquía: primero ~p,
luego p → q y ~p ∨ q, y al final el ↔.
| p | q | ~p | p → q | ~p ∨ q | (p → q) ↔ (~p ∨ q) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
p → q y ~p ∨ q son lógicamente equivalentes.
La columna final es 1 en todas las filas. La fórmula es verdadera bajo cualquier interpretación. 1 1 1 1
La columna final es 0 en todas las filas. La fórmula es imposible: no hay interpretación que la haga verdadera. 0 0 0 0
La columna final tiene 1 y 0. La fórmula es verdadera en unos casos y falsa en otros: su verdad depende de los valores de las variables. 1 0 1 0
Un argumento es una cadena de proposiciones en la que unas (las premisas)
pretenden justificar otra (la conclusión). Se simboliza así:
(P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) → C.
Si esa fórmula es una tautología, el argumento es válido.
| Forma válida | Símbolos | Esquema | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Modus ponens | → | p → q · p · ∴ q | Si llueve, me mojo. Llueve. Por tanto, me mojo. |
| Modus tollens | → | p → q · ~q · ∴ ~p | Si llueve, me mojo. No me mojo. Por tanto, no llueve. |
| Silogismo hipotético | → | p → q · q → r · ∴ p → r | Si estudio, apruebo. Si apruebo, celebro. Si estudio, celebro. |
| Silogismo disyuntivo | ∨ | p ∨ q · ~p · ∴ q | Estudio o trabajo. No estudio. Por tanto, trabajo. |
| Conjunción | ∧ | p · q · ∴ p ∧ q | Llueve. Hace frío. Por tanto, llueve y hace frío. |
La lógica simbólica no enseña qué pensar, sino cómo encadenar razones sin contradicción.
Enunciado declarativo con valor de verdad 1 o 0. Es la unidad mínima del análisis lógico.
Siete operadores que enlazan proposiciones y permiten formalizar cualquier razonamiento.
2n filas, columnas auxiliares según la jerarquía, columna final como resultado.
Un argumento es válido si su fórmula condicional es una tautología. La tabla lo demuestra.
«La lógica es la anatomía del pensamiento.» — Atribuido a William Hamilton