Уравнения
От простого к сложному • Решение задач
Часть 1. Что такое уравнение? Основа
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число (обозначается буквой).
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором уравнение становится верным числовым равенством.
Пример: x + 5 = 12 → x = 7 (проверка: 7 + 5 = 12 ✓)
Задание 1. Проверь, является ли число корнем уравнения:
x + 3 = 10 (x = 7)
y − 5 = 8 (y = 13)
2a = 14 (a = 6)
b : 4 = 5 (b = 20)
Часть 2. Простые уравнения Один шаг
Чтобы найти неизвестное, нужно выполнить одно обратное действие:
Пример 1: x + 8 = 15 → x = 15 − 8 → x = 7
Пример 2: y − 6 = 10 → y = 10 + 6 → y = 16
Пример 3: 4a = 20 → a = 20 : 4 → a = 5
Пример 4: b : 3 = 7 → b = 7 · 3 → b = 21
Задание 2. Реши уравнения:
x + 7 = 19
y − 4 = 11
3a = 27
b : 5 = 9
m + 14 = 30
n − 8 = 17
6x = 42
y : 7 = 6
a + 25 = 40
b − 12 = 28
4x = 36
x : 8 = 5
Часть 3. Двухшаговые уравнения Два действия
В таких уравнениях нужно выполнить два обратных действия.
Порядок: сначала избавляемся от сложения/вычитания, потом — от умножения/деления.
Пример 1: 2x + 5 = 15
1) 2x = 15 − 5 → 2x = 10
2) x = 10 : 2 → x = 5
Пример 2: 3y − 7 = 20
1) 3y = 20 + 7 → 3y = 27
2) y = 27 : 3 → y = 9
Задание 3. Реши уравнения:
2x + 3 = 15
3y − 5 = 16
4a + 7 = 27
5b − 8 = 22
6x + 4 = 40
7y − 9 = 33
Повышенный уровень (с дробями)
½x + 3 = 8
⅓y − 2 = 4
0,5a + 1,5 = 4,5
0,2b − 0,6 = 1,4
Часть 4. Трёхшаговые уравнения Три действия
В таких уравнениях сначала нужно упростить одну из частей (привести подобные), а потом решать.
Пример: 3x + 2x − 5 = 20
1) 5x − 5 = 20 (привели подобные)
2) 5x = 20 + 5 → 5x = 25
3) x = 25 : 5 → x = 5
Задание 4. Реши уравнения:
4x + 2x − 6 = 18
7y − 3y + 5 = 29
5a + 2a − 4 = 17
8b − 3b − 7 = 23
3x + 4x + 2 = 30
6y − 2y − 3 = 17
2a + 5a − 8 = 27
9b − 4b + 6 = 31
Повышенный уровень
2,5x + 1,5x − 4 = 16
⅓y + ⅔y − 5 = 10
0,2a + 0,3a + 1,5 = 3,5
¾b + ¼b + 2 = 8
Часть 5. Пропорции Крест-накрест
Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d
Основное свойство: a · d = b · c (произведение крайних равно произведению средних)
Пример: 2 : 5 = 4 : x
2 · x = 5 · 4 → 2x = 20 → x = 10
Задание 5. Реши пропорции:
3 : 4 = 6 : x
5 : 2 = 10 : y
x : 7 = 4 : 14
8 : b = 2 : 3
x : 6 = 3 : 9
4 : a = 7 : 14
12 : 5 = y : 3
2,5 : 5 = 1,5 : x
Повышенный уровень
⅔ : ½ = x : ¾
1,2 : 0,4 = 3,6 : y
0,5 : ¼ = 2 : x
⅞ : ½ = 1,75 : y
Часть 6. Решение задач с помощью уравнений Главное!
📌 Шпаргалка: как перевести слова в уравнение
| «в 2 раза больше» |
→ 2x |
| «в 3 раза меньше» |
→ x : 3 |
| «на 5 больше» |
→ x + 5 |
| «на 7 меньше» |
→ x − 7 |
| «сумма двух чисел» |
→ x + (x + a) |
| «одно в 2 раза меньше другого» |
→ x + 2x = ... |
Пример: В двух корзинах 30 яблок. В первой корзине в 2 раза больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?
Пусть x — яблок во второй корзине. Тогда в первой — 2x.
x + 2x = 30 → 3x = 30 → x = 10 (вторая), 2x = 20 (первая).
Ответ: 10 и 20 яблок.
Задание 6. Реши задачи с помощью уравнений:
1. В двух классах 45 учеников. В 7«А» на 5 учеников больше, чем в 7«Б». Сколько учеников в каждом классе?
2. У Пети в 3 раза больше марок, чем у Васи. Всего у них 64 марки. Сколько марок у каждого?
Повышенный уровень
3. Сумма трёх чисел равна 120. Первое число в 3 раза меньше второго, а третье на 20 больше второго. Найдите все числа.
4. В первом ящике было в 4 раза больше яблок, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 15 кг, а во второй положили 3 кг, то в обоих ящиках стало поровну. Сколько яблок было в каждом ящике первоначально?