📐 Угол между прямыми в пространстве
Углы с сонаправленными сторонами
Угол между прямыми в пространстве — это угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку.
1. Почему это важно?
В пространстве две прямые могут:
- Пересекаться — угол виден сразу.
- Быть параллельными — угол равен 0°.
- Скрещиваться — угол нужно «перенести».
Именно для скрещивающихся прямых и нужно наше определение.
3. Определение
Углом между прямыми a и b называется угол между параллельными им прямыми a' и b', проходящими через одну точку O.
Свойства:
- 0° ≤ φ ≤ 90°
- Если прямые параллельны → 0°
- Если прямые перпендикулярны → 90°
- Угол не зависит от выбора точки O
4. Углы с сонаправленными сторонами
Сонаправленные лучи — параллельны и направлены в одну сторону.
Если стороны одного угла сонаправлены со сторонами другого, то углы равны.
5. Чертёж куба
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁:
- Нижнее основание: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
- Верхнее основание: \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\).
- Видимые рёбра — сплошные линии.
- Невидимые рёбра — пунктирные линии.
Подсказка: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, «перенеси» одну из них параллельно в точку на другой прямой.
6. Примеры на кубе
Пример 1. Найдите угол между прямыми AB и CC₁.
Решение: AB и CC₁ — скрещиваются. Перенесём CC₁ в точку B → получим BB₁. Угол между AB и BB₁ = 90°.
Ответ: 90°
Пример 2. Найдите угол между прямыми AB и A₁C₁.
Решение: A₁C₁ ∥ AC. Угол между AB и AC = 45° (диагональ квадрата).
Ответ: 45°
7. Задачи для закрепления
Задача 1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между AB и DD₁.
Решение: DD₁ ∥ AA₁. Угол между AB и AA₁ = 90°.
Ответ: 90°
Задача 2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между AC и BD₁.
Решение: AC ⊥ плоскости BDD₁ (так как AC ⊥ BD и AC ⊥ BB₁). Значит, AC ⊥ BD₁.
Ответ: 90°
Задача 3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между A₁B и BC₁.
Решение: A₁B ∥ D₁C, BC₁ ∥ AD₁. Треугольник A₁BC₁ — равносторонний (все стороны — диагонали граней). Угол = 60°.
Ответ: 60°
Задача 4. Докажите, что если две прямые перпендикулярны третьей, то они не обязательно параллельны.
Пример: рёбра AB, BC, BB₁ куба. AB ⊥ BB₁, BC ⊥ BB₁, но AB и BC не параллельны (они пересекаются в точке B под углом 90°).