Вся сухая информация, которую обязательно нужно рассказать ведущему и указать в презентации

1. Определения

• Декартова прямоугольная система координат — система, задаваемая двумя взаимно перпендикулярными осями с общим началом.
• Ox — ось абсцисс.
• Oy — ось ординат.
• Oz — ось аппликат (в пространстве).
• O — начало координат.
• Координаты точки — её проекции на оси.
• M(x; y) — на плоскости.
• M(x; y; z) — в пространстве.
• Проекция точки на ось — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.
• Проекция вектора на ось — длина отрезка между проекциями начала и конца вектора.
• Знак проекции: «+» — совпадает с осью, «−» — противоположна.
• Координаты вектора — его проекции на соответствующие оси.
• a = (aₓ; a_y) — на плоскости.
• a = (aₓ; a_y; a_z) — в пространстве.

2. Формулы

Координаты вектора через начало и конец:

• AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁)
• AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁)

Сложение:

• a + b = (aₓ + bₓ; a_y + b_y)
• a + b = (aₓ + bₓ; a_y + b_y; a_z + b_z)

Вычитание:

• a − b = (aₓ − bₓ; a_y − b_y)
• a − b = (aₓ − bₓ; a_y − b_y; a_z − b_z)

Умножение на число k:

• k · a = (k · aₓ; k · a_y)
• k · a = (k · aₓ; k · a_y; k · a_z)

Длина вектора:

• |a| = √(aₓ² + a_y²)
• |a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

Расстояние между точками:

• AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
• AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

3. Правила

1. Координаты вектора не зависят от его расположения — важны только начало и конец.
2. При сложении складываются соответствующие координаты.
3. При вычитании вычитаются соответствующие координаты.
4. При умножении на число каждая координата умножается на это число.
5. Умножение на положительное число — направление не меняется.
6. Умножение на отрицательное число — направление меняется на противоположное.
7. Умножение на 0 — нулевой вектор.
8. Длина вектора всегда неотрицательна.
9. Расстояние между точками — длина вектора между ними.
10. Порядок координат важен: (3; 2) и (2; 3) — разные точки.

4. Обязательный пример

Дано: A(1; 2), B(4; 6), C(−1; 3)

Найти: AB + AC, 2AB − AC, |AB|

Решение:

• AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4)
• AC = (−1 − 1; 3 − 2) = (−2; 1)
• AB + AC = (3 + (−2); 4 + 1) = (1; 5)
• 2AB = (6; 8)
• 2AB − AC = (6 − (−2); 8 − 1) = (8; 7)
• |AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5

Ответ: (1; 5), (8; 7), 5.

5. Фразы для каждого действия

• Сложение: складываем соответствующие координаты.
• Вычитание: из координат первого вычитаем координаты второго.
• Умножение на число: каждую координату умножаем на это число.
• Координаты вектора: из координат конца вычитаем координаты начала.
• Длина: корень из суммы квадратов координат.
• Расстояние: длина вектора между точками.

6. Что нельзя путать

1. Координаты точки и координаты вектора.
2. При нахождении AB: конец минус начало, а не наоборот.
3. В пространстве забывать третью координату.
4. |a| = aₓ + a_y — неверно, там корень из суммы квадратов.
5. Порядок координат: (x; y), а не (y; x).

7. Финальная фраза

Декартова прямоугольная система координат позволяет задать положение точки и вектора числами. Все действия над векторами — сложение, вычитание и умножение на число — выполняются покоординатно. Это базовый аппарат аналитической геометрии. Спасибо за внимание!