Прямые в пространстве
Взаимное расположение прямых.
Угол между прямыми.
Вращай модель мышью или пальцем. На чертеже изображены части бесконечных прямых.
Три случая
Положение на рисунке зависит от точки наблюдения. Пересечение проекций ещё не означает пересечение прямых.
Пересекающиеся прямые
Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Почему точка пересечения только одна?
Через две различные точки проходит единственная прямая. Две прямые с двумя общими точками совпали бы.
Параллельные прямые
Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.
Важно проверять оба условия определения.
Совпадающие прямые
У совпадающих прямых все точки общие. В классификации здесь рассматриваем различные прямые.
Скрещивающиеся прямые
Они не пересекаются и не параллельны.
Признак: если a лежит в плоскости α, а b пересекает α в точке, не принадлежащей a, то a и b скрещиваются.
Почему это работает?
Если бы a и b лежали в одной плоскости β, плоскости α и β пересекались бы по a. Точка пересечения b с α должна была бы принадлежать a. Получаем противоречие.
Куб: найди взаимное расположение
Куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Верхние вершины находятся над одноимёнными нижними.
Речь идёт о прямых, содержащих указанные рёбра.
Угол пересекающихся прямых
Он больше 0° и не превышает 90°.
При 90° прямые перпендикулярны.
Угол скрещивающихся прямых
- Выбери точку на одной из прямых.
- Проведи через неё прямую, параллельную другой.
- Найди меньший угол пересекающихся прямых.
Что меняется при переносе?
Угол не зависит от выбора точки O.
Угол между параллельными прямыми принимают равным 0°. Между скрещивающимися прямыми он может быть равен 90°.
Угол на экране
При вращении модели видимый угол меняется. Пространственный угол при этом остаётся прежним. Измерять его транспортиром по перспективному рисунку нельзя.
Куб: угол между AB и B₁C₁
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найди угол между прямыми AB и B₁C₁.
Шаг 1. Определи расположение
Прямые скрещиваются: AB лежит в нижней грани, а B₁C₁ параллельна BC и находится в верхней грани.
Шаг 2. Замени прямую параллельной
Через B проходит BC ∥ B₁C₁.
Шаг 3. Найди угол
AB ⟂ BC, потому что грань куба является квадратом. Ответ: 90°.
Куб: угол между AB и A₁C₁
Найди угол между прямыми AB и A₁C₁.
Подсказка
Диагональ верхней грани A₁C₁ параллельна диагонали нижней грани AC.
Решение
Угол между AB и A₁C₁ равен углу BAC. Диагональ квадрата делит прямой угол пополам. Ответ: 45°.
Доказательство от противного
Из точки M вне a выходят две различные прямые без общих точек с a. Обоснуй: хотя бы одна скрещивается с a.
Подсказка
Предположи, что обе прямые параллельны a.
Решение
Обозначим прямые b и c. Они не пересекают a. Если ни одна не скрещивается с a, обе должны быть параллельны a. Но через M проходит только одна прямая, параллельная a. Поэтому b и c совпали бы. Это противоречит их различию. Хотя бы одна из них скрещивается с a.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 19. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Признак скрещивания
a ∥ b. Прямая c встречает a, но не b. Докажи, что b и c скрещиваются.
Подсказка
Предположи существование плоскости, содержащей b и c.
Решение
Пусть P = a ∩ c. Если b и c лежат в плоскости β, то P принадлежит β. Через P в β проходит прямая, параллельная b. По единственности это a. Тогда a, b и c лежат в β. Прямая c не может быть параллельна b: иначе она была бы параллельна a, хотя пересекает a. Значит, c должна пересечь b. Это противоречит условию. Следовательно, b и c скрещиваются.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 19. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Четыре точки в пространстве
AB и CD скрещиваются. Докажи скрещивание AD и BC.
Подсказка
Что произойдёт с точками A, B, C, D, если AD и BC лежат в одной плоскости?
Решение
Предположим, что AD и BC лежат в плоскости α. Тогда все четыре точки A, B, C, D принадлежат α. Поэтому прямые AB и CD также лежат в α. Это противоречит условию об их скрещивании. Следовательно, AD и BC не лежат в одной плоскости и скрещиваются.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 20. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Параллельность третьей прямой
Могут ли две скрещивающиеся прямые быть параллельными одной и той же третьей прямой? Обоснуй ответ.
Подсказка
Вспомни теорему о двух прямых, параллельных третьей.
Решение
Нет. Если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b. Тогда a и b лежат в одной плоскости, что противоречит их скрещиванию. На модели показаны скрещивающиеся a и b. Она иллюстрирует исходное положение, а не невозможное условие.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 20. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Перенос угла
OB ∥ CD, OA и CD скрещиваются. Найди их угол при ∠AOB: а) 40°, б) 135°, в) 90°.
Подсказка
Замени CD параллельной ей прямой OB. Выбери меньший угол.
Решение
Угол между OA и CD равен углу между OA и OB. Если ∠AOB не превышает 90°, берём его. Если он тупой, берём смежный угол. а) 40°. б) 180° − 135° = 45°. в) 90°.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 20. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Параллелограмм
a ∥ BC, a вне плоскости параллелограмма ABCD. Докажи скрещивание a и CD. Найди их угол, если угол параллелограмма: а) 50°, б) 121°.
Подсказка
Сначала докажи, что a параллельна плоскости ABCD. Затем замени a на BC.
Решение
Обозначим плоскость параллелограмма α. Поскольку a ∥ BC и a не лежит в α, a ∥ α, поэтому a не пересекает CD. Прямые a и CD также не параллельны: иначе BC ∥ CD, хотя эти стороны пересекаются в C. Значит, a и CD скрещиваются. Их угол равен меньшему углу между BC и CD. а) 50°. б) 180° − 121° = 59°.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 20. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Ромб: диагонали
m ∥ BD, m вне плоскости ромба ABCD. Докажи скрещивание m и AC и найди их угол.
Подсказка
Как расположены диагонали ромба?
Решение
Прямая m параллельна плоскости ромба, поэтому не пересекает AC. Параллельной AC она тоже быть не может, поскольку BD ⟂ AC. Следовательно, m и AC скрещиваются. Замена m на BD даёт угол 90°.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 20. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Ромб: диагональ и сторона
При тех же условиях докажи скрещивание m и AD. Найди их угол, если ∠ABC = 128°.
Подсказка
Найди ∠ADC и используй свойство диагонали BD.
Решение
Прямая m параллельна плоскости ромба и не пересекает AD. Она не параллельна AD, потому что BD и AD пересекаются в D. Поэтому m и AD скрещиваются. В ромбе ∠ADC = ∠ABC = 128°. Диагональ BD делит угол D пополам, поэтому ∠BDA = 128° : 2 = 64°. Замена m на BD даёт искомый угол 64°.
Условие изложено кратко по учебнику Л. С. Атанасяна и соавторов «Геометрия. 10–11 классы», 2019, § 2, с. 20. Источник. Иллюстрация показывает один пример расположения.
Проверка понимания
Памятка
- Есть одна общая точка: пересекаются.
- Одна плоскость и нет общих точек: параллельны.
- Нет общей плоскости: скрещиваются.
Для скрещивающихся прямых проведи параллельные им прямые через одну точку. Выбери меньший угол.