Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Обозначение: \(\alpha \parallel \beta\).
🔍 Задание для разминки
Осмотрись вокруг! Где в нашем классе (или в этой комнате) ты видишь параллельные плоскости?
Подсказка: посмотри на пол и потолок, на противоположные стены, на полки шкафа.
✅ Пол и потолок.
✅ Противоположные стены.
✅ Верхняя и нижняя полки шкафа.
✅ Столешница стола и пол (если стол стоит ровно).
2. Признак параллельности плоскостей
Теорема (признак): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
1. Предположим, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по некоторой прямой \(c\).
2. Рассмотрим прямую \(a\). Она лежит в плоскости \(\alpha\) и параллельна прямой \(a_1\) из плоскости \(\beta\). Значит, прямая \(a\) параллельна самой плоскости \(\beta\) (по признаку параллельности прямой и плоскости).
3. Плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\), параллельную плоскости \(\beta\), и пересекает \(\beta\) по прямой \(c\). По свойству параллельных прямой и плоскости, прямая \(a\) должна быть параллельна линии пересечения \(c\) (\(a \parallel c\)).
4. Аналогично рассуждаем для прямой \(b\): она параллельна \(b_1\), значит \(b \parallel \beta\), и следовательно, \(b \parallel c\).
5. Получили, что в плоскости \(\alpha\) через точку \(M\) проходят две прямые (\(a\) и \(b\)), параллельные одной и той же прямой \(c\). Но это невозможно (через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной).
6. Наше предположение было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть они параллельны. Ч.т.д.
3. Решение задач (Образцы оформления)
Задача 1
Условие: Точки \(A, B, C\) лежат в плоскости \(\alpha\), а точки \(A_1, B_1, C_1\) — в плоскости \(\beta\). Прямые \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны, а прямые \(AC\) и \(A_1C_1\) параллельны. Докажите, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны.
Доказательство:
1. В плоскости \(\alpha\) рассмотрим две пересекающиеся прямые: \(AB\) и \(AC\) (они пересекаются в точке \(A\)).
2. В плоскости \(\beta\) рассмотрим прямые \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\) (они пересекаются в точке \(A_1\)).
3. По условию \(AB \parallel A_1B_1\) и \(AC \parallel A_1C_1\).
4. Следовательно, две пересекающиеся прямые одной плоскости (\(AB\) и \(AC\)) параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (\(A_1B_1\) и \(A_1C_1\)).
5. По признаку параллельности плоскостей, \(\alpha \parallel \beta\). Ч.т.д.
Задача 2 (на прямые в параллельных плоскостях)
Условие: Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Прямая \(l\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\). Докажите, что прямая \(l\) пересекает и плоскость \(\beta\).
Доказательство (от противного):
1. Предположим, что прямая \(l\) не пересекает плоскость \(\beta\). Это значит, что \(l \parallel \beta\) (либо лежит в ней, но она уже пересекает \(\alpha\), а плоскости параллельны).
2. Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости можно найти прямую, параллельную данной. Пусть в \(\beta\) есть прямая \(m\), такая что \(l \parallel m\).
3. Но мы знаем, что если прямая (\(l\)) параллельна прямой в плоскости (\(m\)), то она параллельна и самой плоскости.
4. Однако по условию \(l\) пересекает \(\alpha\). Если бы \(l \parallel \beta\), то через точку \(A\) (в плоскости \(\alpha\)) проходила бы прямая, параллельная \(\beta\). Это означало бы, что \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку (точку \(A\)), но они параллельны. Противоречие.
5. Значит, прямая \(l\) обязательно пересекает плоскость \(\beta\). Ч.т.д.
4. Следствия из теоремы
Из признака параллельности плоскостей вытекают очень важные свойства (следствия). Давайте с ними познакомимся.
Следствие 1: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
(Если \(\alpha \parallel \beta\), и плоскость \(\gamma\) пересекает их по прямым \(a\) и \(b\), то \(a \parallel b\)).
Следствие 2: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
🧠 Вопрос на подумать: А обратные утверждения верны?
Мы знаем, что если плоскости параллельны, то отрезки параллельных прямых между ними равны (Следствие 2).
А верно ли обратное? Если отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя плоскостями, равны, то плоскости обязательно параллельны?
Да, верно. Если отрезки равны, то плоскости точно параллельны.
Нет, не верно. Плоскости могут пересекаться, но отрезки всё равно будут равны.