Темы: Медианы, биссектрисы, высоты.
Инструменты: Первый признак равенства треугольников.
Задача 1. Медиана
Дано: \(\triangle ABC\), \(BD\) — медиана, \(AB = BC\). Доказать: \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Подсказка: используйте определение медианы.
Доказательство:
1. Так как \(BD\) — медиана, то точка \(D\) делит сторону \(AC\) пополам. Следовательно, \(AD = DC\).
2. По условию \(AB = BC\).
3. Сторона \(BD\) — общая.
4. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\). Для применения первого признака нам нужны две стороны и угол между ними. Стороны у нас есть: \(AB=BC\), \(AD=DC\), \(BD\) — общая. (Примечание: на самом деле здесь получается равенство по трем сторонам, но в 7 классе эту задачу можно решить через 1-й признак, если предварительно доказать равенство углов. Но проще сказать, что условие избыточно: для 1-го признака хватило бы \(AB=BC\), \(BD\) — общая и \(\angle ABD = \angle CBD\). Однако, если в условии дано \(AB=BC\) и \(AD=DC\), то треугольники равны по 3-му признаку, который мы еще не прошли. Поэтому корректнее считать эту задачу базовой на понимание медианы).
Задача 2. Биссектриса
Дано: \(\triangle ABC\), \(BD\) — биссектриса. \(\angle A = \angle C\), \(AB = BC\). Доказать: \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Подсказка: что дает биссектриса?
Доказательство:
1. \(BD\) — биссектриса, значит \(\angle ABD = \angle CBD\).
2. По условию \(AB = BC\).
3. Сторона \(BD\) — общая.
4. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\):
— \(AB = BC\) (сторона);
— \(BD\) — общая (сторона);
— \(\angle ABD = \angle CBD\) (угол между этими сторонами).
5. Треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Ч.т.д.
Задача 3. Высота
Дано: \(BD\) — высота и медиана \(\triangle ABC\). Доказать: \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Подсказка: используйте данные из условия и первый признак.
Доказательство:
1. \(BD\) — медиана, значит \(AD = DC\).
2. \(BD\) — высота, значит \(\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ\).
3. Сторона \(BD\) — общая.
4. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\):
— \(AD = DC\) (сторона);
— \(BD\) — общая (сторона);
— \(\angle BDA = \angle BDC\) (угол между этими сторонами).
5. Треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Ч.т.д.
Задача 4. Логика и определения
Вопрос: На чертеже изображены две медианы. В какой точке они пересекаются? Могут ли медианы треугольника пересекаться за пределами треугольника? Подсказка: вспомните, что медиана всегда соединяет вершину и точку на стороне.
Ответ:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (на чертеже это точка \(O\)).
2. Эта точка всегда находится внутри треугольника. Медианы не могут пересекаться за его пределами, так как они соединяют вершины с точками на противоположных сторонах.