Опрос по геометрии. 7 класс.

Тема: Свойства равнобедренного треугольника

ФИО:

Теорема:

Дано: \(\triangle ABC\), .

Доказать: \(\angle A = \angle C\).

Доказательство:

1. Проведем из вершины \(B\).

2. Рассмотрим \(\triangle\) и \(\triangle\) . У них:

- сторона = сторона ;
- сторона = сторона ;
- угол = угол .

Следовательно, \(\triangle\) = \(\triangle\) по признаку.

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: \(\angle A = \angle C\).

Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

ФИО:

Теорема:

Дано: \(\triangle ABC\), ; \(BD\) — биссектриса.

Доказать: \(BD\) — медиана, \(BD\) — высота.

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle\) и \(\triangle\) . У них:

- сторона = сторона ;
- угол = угол (так как \(BD\) — биссектриса);
- сторона = сторона .

2. Следовательно, \(\triangle\) = \(\triangle\) по признаку.

3. Из равенства треугольников следует:

- сторона = сторона , значит \(BD\) — .
- угол = угол . Так как они смежные, то их сумма \(180^\circ\). Значит, каждый из них равен \(^\circ\). Следовательно, \(BD \perp AC\), то есть \(BD\) — .

Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Ответы для учителя

Примечание: в зависимости от того, какую линию провели ученики (медиану или биссектрису), доказательство может отличаться признаком и набором равных элементов. Ниже приведен эталонный вариант с медианой (для 1 карточки) и биссектрисой (для 2 карточки).

Карточка 1

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\).

Доказательство:

1. Проведем медиану \(BM\) из вершины \(B\).

2. Рассмотрим \(\triangle\) \(ABM\) и \(\triangle\) \(CBM\). У них:

сторона \(AB\) = сторона \(BC\);
сторона \(AM\) = сторона \(MC\);
(Примечание: если проведена медиана, то третьим элементом будет сторона BM=BM (общая), и сработает 3-й признак. Если дети провели биссектрису, то третьим элементом будет угол, и сработает 1-й признак).

Следовательно, \(\triangle\) \(ABM\) = \(\triangle\) \(CBM\) по третьему (или первому) признаку.

Карточка 2

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\); \(BD\) — биссектриса.

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle\) \(ABD\) и \(\triangle\) \(CBD\). У них:

сторона \(AB\) = сторона \(BC\);
угол \(ABD\) = угол \(CBD\) (так как \(BD\) — биссектриса);
сторона \(BD\) = сторона \(BD\) (общая).

2. Следовательно, \(\triangle\) \(ABD\) = \(\triangle\) \(CBD\) по первому признаку.

3. Из равенства треугольников следует:

сторона \(AD\) = сторона \(DC\), значит \(BD\) — медиана.
угол \(BDA\) = угол \(BDC\). Сумма смежных \(180^\circ\). Каждый равен \(90\)\(^\circ\). Следовательно, \(BD\) — высота.