复变函数知识卡片

数学物理方法·前半部分（全五章）

第一章 复变函数与解析函数

1.1 复变函数的定义

设 $G$ 为复平面上的点集。若对每个 $z \in G$，按一定法则 $f$ 有确定的复数 $w$ 与之对应，则称 $w = f(z)$ 为定义在 $G$ 上的复变函数。

$$w = f(z) = u(x, y) + i\,v(x, y)$$

其中 $z = x + iy$，$u = \text{Re}\,f(z)$，$v = \text{Im}\,f(z)$ 均为实二元函数。

映射观点

复变函数 $w = f(z)$ 是从 $z$ 平面点集 $G$ 到 $w$ 平面点集的映射。

1.2 极限与连续

极限：$\lim_{z \to z_0} f(z) = A$ 指 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时 $|f(z) - A| < \varepsilon$。

关键特征

$z \to z_0$ 必须沿任意路径、任意方向，$f(z)$ 都趋于同一 $A$。这是复变函数与实变函数最本质的区别。

连续：$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$。复变函数连续 $\iff$ $u(x, y)$、$v(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 连续。

1.3 导数与解析

导数：设 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义，若极限

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

存在（且与 $\Delta z \to 0$ 的方式无关），则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导。

解析（全纯）：$f(z)$ 在 $z_0$ 解析 $\iff$ $f(z)$ 在 $z_0$ 的某个邻域内处处可导。

重要结论

1.4 初等复变函数

指数函数

$$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$$

性质：$e^z$ 在全平面解析，$(e^z)' = e^z$；以 $2\pi i$ 为周期；$e^z \neq 0$ 恒成立。

对数函数（多值）

$$\text{Ln}\,z = \ln|z| + i\text{Arg}\,z = \ln|z| + i(\arg z + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

主值：$\ln z = \ln|z| + i\arg z$，$\arg z \in (-\pi, \pi]$。

幂函数

$$z^\alpha = e^{\alpha\,\text{Ln}\,z} \quad \text{（一般多值）}$$

1.5 三角函数与双曲函数

三角函数

$$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$

双曲函数

$$\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$$
与实变函数的重要差异

1.6 柯西-黎曼条件（C-R 方程）

设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在点 $z = x + iy$ 可导，则

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

导数公式：

$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$$
充要条件

可导的充要条件：$f(z) = u + iv$ 在点 $z$ 可导 $\iff$ $u, v$ 在该点可微且满足 C-R 条件。

解析的充要条件：$f(z)$ 在区域 $D$ 内解析 $\iff$ $u, v$ 在 $D$ 内可微且处处满足 C-R 条件。

1.7 极坐标下的 C-R 条件

记 $z = re^{i\theta}$，$f = u(r, \theta) + iv(r, \theta)$，则

$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

导数公式：

$$f'(z) = e^{-i\theta}\left(\frac{\partial u}{\partial r} + i\frac{\partial v}{\partial r}\right) = \frac{1}{iz}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta} + i\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)$$

1.8 调和函数

若实二元函数 $\varphi(x, y)$ 在区域 $D$ 内有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$$

则称 $\varphi$ 为 $D$ 内的调和函数。

解析与调和的关系

若 $f(z) = u + iv$ 在 $D$ 内解析，则 $u$、$v$ 都是 $D$ 内的调和函数。此时称 $v$ 为 $u$ 的共轭调和函数。

推导

由 C-R：$u_x = v_y$，$u_y = -v_x$。对第一式关于 $x$ 求偏导、第二式关于 $y$ 求偏导：

$$u_{xx} = v_{yx}, \quad u_{yy} = -v_{xy}$$

因 $u, v$ 有二阶连续偏导，$v_{yx} = v_{xy}$，两式相加得 $u_{xx} + u_{yy} = 0$。同理可证 $v_{xx} + v_{yy} = 0$。

1.9 由实部求虚部

已知调和函数 $u(x, y)$，求共轭调和 $v$：

$$v(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} \left(-u_y\,dx + u_x\,dy\right) + C$$

该积分与路径无关（因 $u$ 调和，被积式满足恰当条件）。

实用做法（全微分法）：由 $dv = v_x\,dx + v_y\,dy = -u_y\,dx + u_x\,dy$ 逐步积分。

注意

共轭调和关系是不对称的——若 $v$ 是 $u$ 的共轭调和，则 $u$ 是 $-v$ 的共轭调和。

1.10 解析函数的性质

重要结论速查
第二章 复变函数的积分

2.1 复变函数积分的概念

设 $C$ 是复平面上的一条光滑（或分段光滑）有向曲线，起点 $A$、终点 $B$。把 $C$ 任意分成 $n$ 段，分点 $z_0 = A, z_1, \ldots, z_n = B$，在每段上任取 $\zeta_k$，作和

$$S_n = \sum_{k=1}^n f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1})$$

当分点无限增多且每段长度趋于零时，若 $S_n$ 的极限存在且与分法、$\zeta_k$ 取法无关，则称此极限为 $f(z)$ 沿 $C$ 的积分：

$$\int_C f(z)\,dz = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\Delta z_k$$

2.2 积分的计算方法

化为实积分

设 $f(z) = u + iv$，$dz = dx + idy$，则

$$\int_C f(z)\,dz = \int_C (u\,dx - v\,dy) + i\int_C (v\,dx + u\,dy)$$

参数法

若 $C: z(t) = x(t) + iy(t)$，$t: \alpha \to \beta$，则

$$\int_C f(z)\,dz = \int_\alpha^\beta f(z(t))\,z'(t)\,dt$$

2.3 积分的基本性质

基本性质

2.4 柯西积分定理

若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内任一条简单闭曲线，则

$$\oint_C f(z)\,dz = 0$$
重要推论

2.5 复合闭路定理

设 $C$ 为多连通区域 $D$ 的外边界（逆时针），$C_1, \ldots, C_n$ 为内边界（顺时针），$f$ 在 $\overline{D}$ 上解析，则

$$\oint_C f\,dz + \sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f\,dz = 0$$

若把内边界也取逆时针，则

$$\oint_C f\,dz = \sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f\,dz$$

2.6 柯西积分公式

设 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D} = D \cup C$ 上连续，$z_0$ 为 $D$ 内任一点，则

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz$$

（$C$ 取逆时针方向。）

高阶导数公式

$f(z)$ 在 $D$ 内有无穷阶导数，且

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$

2.7 柯西积分公式的推论

重要推论
第三章 幂级数

3.1 复数项级数

设 $\{z_n\}$ 为复数列，$\sum_{n=1}^\infty z_n$ 称为复数项级数。若部分和数列 $S_N = \sum_{n=1}^N z_n$ 收敛，则称级数收敛。

记 $z_n = a_n + ib_n$，则

$$\sum z_n \text{ 收敛} \iff \sum a_n \text{ 与 } \sum b_n \text{ 均收敛}$$

若 $\sum |z_n|$ 收敛，则称 $\sum z_n$ 绝对收敛；绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。

柯西收敛准则

$\sum z_n$ 收敛 $\iff$ $\forall \varepsilon > 0, \exists N$，当 $n > N$ 时对任意正整数 $p$：$|z_{n+1} + z_{n+2} + \cdots + z_{n+p}| < \varepsilon$

3.2 幂级数与收敛半径

幂级数指形如

$$\sum_{n=0}^\infty c_n(z - z_0)^n = c_0 + c_1(z - z_0) + c_2(z - z_0)^2 + \cdots$$

的级数，$c_n$ 为复常数，$z_0$ 为中心。

阿贝尔定理

若幂级数在 $z_1 \neq z_0$ 处收敛，则它在圆 $|z - z_0| < |z_1 - z_0|$ 内处处绝对收敛；若在 $z_2$ 处发散，则它在 $|z - z_0| > |z_2 - z_0|$ 上处处发散。

收敛半径

存在唯一的 $R \in [0, +\infty]$，使 $|z - z_0| < R$ 绝对收敛，$|z - z_0| > R$ 发散。$R$ 称为收敛半径。

3.3 收敛半径的求法

求法公式

3.4 幂级数的分析性质

设 $\sum_{n=0}^\infty c_n(z - z_0)^n$ 收敛半径为 $R > 0$，和函数 $S(z)$。在收敛圆内 $|z - z_0| < R$：

分析性质
第四章 泰勒级数与洛朗级数

4.1 泰勒级数

设 $f(z)$ 在圆域 $|z - z_0| < R$ 内解析，则 $f(z)$ 在该圆内可唯一地展开为幂级数：

$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n$$

该级数称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的泰勒级数，收敛半径至少为 $R$（$R$ 为 $z_0$ 到 $f$ 最近奇点的距离）。

重要推论

4.2 常用泰勒展开式

麦克劳林级数（$z_0 = 0$）
$e^z$$\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$，$|z| < \infty$
$\sin z$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$|z| < \infty$
$\cos z$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}$，$|z| < \infty$
$\frac{1}{1-z}$$\sum_{n=0}^\infty z^n$，$|z| < 1$
$\frac{1}{1+z}$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n$，$|z| < 1$
$\ln(1+z)$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} z^n}{n}$，$|z| < 1$
$(1+z)^\alpha$$\sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} z^n$，$|z| < 1$

4.3 间接展开法

实际计算中极少直接用 $f^{(n)}(z_0)/n!$，而是：

实用技巧
  1. 用已知展开式
  2. 通过代换、四则运算、逐项求导/积分得到新展开式
  3. 求某点导数时，先展开再比较系数：$f^{(n)}(z_0) = n!\,c_n$

4.4 洛朗级数

形如

$$\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z - z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^\infty c_n(z - z_0)^n}_{\text{解析部分}} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty c_{-n}(z - z_0)^{-n}}_{\text{主要部分（负幂部分）}}$$

的级数称为洛朗级数。它在圆环 $r < |z - z_0| < R$ 内收敛。

4.5 洛朗定理

设 $f(z)$ 在圆环域 $D: r < |z - z_0| < R$ 内处处解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内可唯一展开为洛朗级数：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z - z_0)^n$$

其中

$$c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\,d\zeta, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

$C$ 为圆环内任一绕 $z_0$ 的逆时针简单闭曲线。

4.6 泰勒与洛朗的关系

关系与区别

4.7 展开圆环的确定

解题关键

洛朗展开的区域由各奇点到 $z_0$ 的距离划分：

技巧：把 $f(z)$ 拆成部分分式，在给定区域内按 $|z-a|$ 与 $|z_0-a|$ 的大小关系选择展开方向。

第五章 留数定理及其应用

5.1 孤立奇点

若 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，但在 $z_0$ 的某去心邻域 $0 < |z - z_0| < \delta$ 内处处解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点。

孤立奇点的分类

类型主要部分特征等价判据
可去奇点无负幂项$\lim_{z \to z_0} f(z)$ 存在且有限
$m$ 阶极点只有 $m$ 个负幂项，$c_{-m} \neq 0$$\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^m f(z)$ 为非零有限值
本质奇点有无穷多负幂项$\lim_{z \to z_0} f(z)$ 不存在

5.2 极点的实用判定

若 $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$，$P(z_0) \neq 0$，$Q(z_0) = 0$ 且 $z_0$ 为 $Q$ 的 $m$ 阶零点，则 $z_0$ 是 $f$ 的 $m$ 阶极点。

零点与极点的关系

$z_0$ 为 $f$ 的 $m$ 阶零点 $\iff$ $z_0$ 为 $1/f$ 的 $m$ 阶极点。

无穷远点的分类：令 $t = 1/z$，$f(z)$ 在 $\infty$ 的性质由 $f(1/t)$ 在 $t = 0$ 的性质决定。

5.3 留数的定义

设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，$f$ 在 $0 < |z - z_0| < \delta$ 内的洛朗展开中 $(z - z_0)^{-1}$ 的系数 $c_{-1}$，称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的留数，记作

$$\text{Res}[f(z), z_0] = c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)\,dz$$

5.4 留数计算规则

计算规则

5.5 留数定理

设 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ 外处处解析，在 $\overline{D}$ 上除这些点外连续，则

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n \text{Res}[f(z), z_k]$$

（$C$ 取逆时针方向。）

留数定理的推广

若 $f$ 在扩充复平面上只有有限个奇点，则 $f$ 在所有奇点（含 $\infty$）处的留数之和为零：

$$\sum_{k=1}^n \text{Res}[f, z_k] + \text{Res}[f, \infty] = 0$$

5.6 留数在实积分中的应用（一）

类型一：三角有理式积分

计算 $I = \int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta$，$R$ 为有理函数且在 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 上连续。

方法：令 $z = e^{i\theta}$，则

$$d\theta = \frac{dz}{iz}, \quad \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}$$

于是

$$I = \oint_{|z|=1} R\left(\frac{z + z^{-1}}{2}, \frac{z - z^{-1}}{2i}\right)\frac{dz}{iz} = 2\pi i\sum_{|z_k|<1} \text{Res}[f(z), z_k]$$

5.7 留数在实积分中的应用（二）

类型二：无穷积分

计算 $I = \int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$，要求：

方法：取上半平面闭路（$[-R, R]$ + 上半大圆弧 $C_R$），则

$$I = 2\pi i\sum_{\text{Im}\,z_k > 0} \text{Res}\left[\frac{P(z)}{Q(z)}, z_k\right]$$

（大圆弧上的积分当 $R \to \infty$ 时趋于零，因为 $|f(z)| \sim |z|^{-2}$。）

5.8 留数在实积分中的应用（三）

类型三：含 $e^{iax}$ 的积分（若尔当引理）

计算 $I = \int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)}e^{iax}\,dx$（$a > 0$），要求 $Q$ 在实轴无零点且 $\deg Q \geq \deg P + 1$。

若尔当引理：当 $a > 0$ 时，$\lim_{R \to \infty}\int_{C_R} f(z)e^{iaz}\,dz = 0$（$C_R$ 为上半大圆弧）。

结论：

$$I = 2\pi i\sum_{\text{Im}\,z_k > 0} \text{Res}[f(z)e^{iaz}, z_k]$$

实积分形式：由 $e^{iax} = \cos ax + i\sin ax$，比较实虚部：

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)}\cos ax\,dx = \text{Re}\,I, \quad \int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)}\sin ax\,dx = \text{Im}\,I$$

5.9 留数在实积分中的应用（四）

类型四：实轴上有奇点的积分（主值）

若 $Q(x)$ 在实轴上有单零点，取柯西主值

$$\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{R \to \infty}\lim_{\rho \to 0}\left(\int_{-R}^{-\rho} + \int_\rho^R\right)f(x)\,dx$$

用小半圆绕过实轴奇点，可证：

$$\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 2\pi i\sum_{\text{Im}\,z_k > 0}\text{Res}[f, z_k] + \pi i\sum_{\text{实轴奇点}\,x_k}\text{Res}[f, x_k]$$

小圆弧引理：若 $\alpha$ 为 $f$ 的一阶极点，$C_\rho$ 为以 $\alpha$ 为心、半径 $\rho$ 的上半小圆弧（逆时针），则

$$\lim_{\rho \to 0}\int_{C_\rho} f(z)\,dz = i\pi\,\text{Res}[f, \alpha]$$
第六章 保形变换

6.1 导数的几何意义

设 $w = f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$z_0 \in D$，且 $f'(z_0) \neq 0$。

旋转角

曲线 $C$ 在 $z_0$ 点的切线通过变换以后绕着点 $z_0$ 转动了一个角度 $\arg f'(z_0)$，称为变换 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 点的旋转角。

保角性

保角性

如果函数 $w = f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，设 $z_0 \in D$，且 $f'(z_0) \neq 0$，则变换 $w = f(z)$ 在点 $z_0$ 具有保角性：通过点 $z_0$ 的任意两条曲线的交角保持不变——不但不改变角度的大小，而且也不改变角的方向。

伸张率不变性

$|f'(z_0)|$ 可以看成是曲线 $C$ 受到变换后在 $z_0$ 点的伸张系数，伸张系数在过 $z_0$ 点的每个方向上都相同，它与曲线 $C$ 无关。

6.2 保形变换的概念

定义

如果变换 $w = f(z)$ 在点 $z_0$ 具有保角性及伸张率不变性，则称变换在 $z_0$ 点是保角的。

如果 $f(z)$ 在域 $D$ 中每一点都是保角的，则称 $f(z)$ 是域 $D$ 内的保角变换。

如果变换 $w = f(z)$ 是区域 $D$ 内的一一保角变换，就称它是 $D$ 内的保形变换。

定理

设 $f(z)$ 在域 $D$ 内解析，并且 $f'(z)$ 在 $D$ 内处处不为零，则变换 $w = f(z)$ 是 $D$ 内的保角变换。

6.3 分式线性变换

由函数

$$w = \frac{az + b}{cz + d} \quad (ad - bc \neq 0)$$

所确定的变换称为分式线性变换。

性质

6.4 分式线性变换的确定

满足 $w(z_i) = w_i$ $(i = 1, 2, 3)$ 的分式线性变换由隐式关系

$$\frac{(w - w_1)(w_2 - w_3)}{(w - w_3)(w_2 - w_1)} = \frac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)}$$

确定。

推论

设 $w = w(z)$ 是分式线性变换，且 $w(z_1) = w_1$，$w(z_2) = w_2$，则此分式线性变换可表示为

$$\frac{w - w_1}{w - w_2} = k \frac{z - z_1}{z - z_2} \quad (k \text{ 为任意复常数})$$

6.5 常用的保形变换

幂函数和根式函数

$w = z^n$ 把角域 $0 < \arg z < \frac{\alpha}{n}$ 保形变换为角域 $0 < \arg w < \alpha$。

$w = \sqrt[n]{z}$ 是 $w = z^n$ 的反函数，把角域 $0 < \arg z < \alpha$ 保形变换为角域 $0 < \arg w < \frac{\alpha}{n}$。

指数函数和对数函数

$w = e^z$ 把带域 $0 < \text{Im}\,z < \alpha$ $(\alpha \leq 2\pi)$ 保形变换为角域 $0 < \arg w < \alpha$。

$w = \ln z$ 把角域 $0 < \arg z < \alpha$ 保形变换为带域 $0 < \text{Im}\,w < \alpha$。

儒可夫斯基变换

$$w = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)$$

把单位圆外部 $|z| > 1$ 保形变换为除去割线 $[-1, 1]$ 的 $w$ 平面。

第七章 拉普拉斯变换

7.1 拉普拉斯变换的定义

设 $f(t)$ 是定义在 $[0, +\infty)$ 上的实值函数或复值函数，如果含复变量 $s = \sigma + i\omega$ 的积分

$$\int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$$

在 $s$ 的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数

$$F(s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$$

称为函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或像函数，简记为 $F(s) = \mathcal{L}[f(t)]$。

而 $f(t)$ 则称为 $F(s)$ 的拉氏逆变换或本函数，记为 $f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)]$。

7.2 存在条件

条件 I

$f(t)$ 在 $t$ 轴上的任何有限区间内逐段光滑。

条件 II（指数增长型）

存在两个常数 $M > 0$，$c \geq 0$，使得对所有的 $t \geq 0$，有 $|f(t)| \leq Me^{ct}$。这里 $c$ 称为 $f(t)$ 的增长指数。

定理

若 $f(t)$ 满足条件 I 和 II，则像函数 $F(s)$ 在半平面 $\text{Re}\,s > c$ 上有意义，而且是一个解析函数。

7.3 常用拉氏变换

基本变换公式
$\mathcal{L}[1]$$\frac{1}{s}$
$\mathcal{L}[e^{at}]$$\frac{1}{s-a}$
$\mathcal{L}[\sin \omega t]$$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$\mathcal{L}[\cos \omega t]$$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$
$\mathcal{L}[t^n]$$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$\mathcal{L}[t^\mu]$$\frac{\Gamma(\mu+1)}{s^{\mu+1}}$ $(\mu > -1)$

7.4 基本运算法则（一）

1. 线性关系

$\mathcal{L}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha F(s) + \beta G(s)$

2. 相似定理

设 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，则对任意常数 $a > 0$，有 $\mathcal{L}[f(at)] = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right)$

3. 位移定理

设 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，则对任意复常数 $a$，有 $\mathcal{L}[e^{at} f(t)] = F(s - a)$

7.5 基本运算法则（二）

4. 像函数微分法

若 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，则 $F'(s) = \mathcal{L}[-t f(t)]$

更一般地，$F^{(n)}(s) = \mathcal{L}[(-t)^n f(t)]$

5. 本函数微分法

设 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，$f'(t)$ 满足条件 I 和 II，则

$$\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0)$$

推论：若 $f(t), f'(t), \ldots, f^{(n)}(t)$ 都满足条件 I 和 II，则

$$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

7.6 基本运算法则（三）

6. 本函数积分法

设 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，则

$$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau) d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}$$

7. 延迟定理

设 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，则

$$\mathcal{L}[f(t - \tau)] = e^{-s\tau} F(s) \quad (\tau > 0)$$

其中 $f(t - \tau)$ 在 $t < \tau$ 时取值为 0。

7.7 卷积定理

卷积的定义

如果已知函数 $f(t)$ 及 $g(t)$，则含参变量的积分

$$\int_0^t f(t - \tau) g(\tau) d\tau$$

称为函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的卷积，记为 $f * g$。

卷积定理

若 $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$，$\mathcal{L}[g(t)] = G(s)$，则

$$\mathcal{L}[f * g] = F(s) \cdot G(s)$$

即两个本函数卷积的像函数等于它们像函数的乘积。

7.8 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换由反演积分给出：

$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\beta - i\infty}^{\beta + i\infty} F(s) e^{st} ds \quad (t > 0)$$

其中 $\beta$ 大于 $F(s)$ 的所有奇点的实部。

实用方法

实际计算中，拉氏逆变换通常通过以下方法求得：

7.9 拉氏变换解微分方程

操作步骤
  1. 对微分方程两边作拉氏变换，将微分方程化为代数方程
  2. 解代数方程，求出像函数 $F(s)$
  3. 对 $F(s)$ 作拉氏逆变换，得到原微分方程的解 $f(t)$
优点