Свойства равнобедренного треугольника

Биссектриса, медиана и высота треугольника

Прежде чем говорить о равнобедренном треугольнике, вспомним три важных отрезка, которые можно провести в любом треугольнике.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Задача на готовом чертеже (устно)

Задание 1

На рисунке в треугольнике ABC проведены три отрезка. Определи, какой из них является биссектрисой, какой — медианой, а какой — высотой.

Красный отрезок (из вершины A) — биссектриса, делит угол A пополам.

Зелёный отрезок (из вершины B) — медиана, соединяет B с серединой AC.

Оранжевый отрезок (из вершины C) — высота, перпендикулярен AB (угол 90°).

Задание 2

В треугольнике ABC отрезок AM — медиана. Известно, что BM = 4 см. Найди длину отрезка MC.

Так как AM — медиана, то M — середина стороны BC. Значит, BM = MC = 4 см.

Равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны.

Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Задание 3

В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 7 см, а боковая сторона AB = 5 см. Найди периметр треугольника.

Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, то боковые стороны AB = BC = 5 см.

Периметр: P = AB + BC + AC = 5 + 5 + 7 = 17 см.

Задание 4

Может ли равнобедренный треугольник иметь стороны 4 см, 4 см и 8 см? Ответ обоснуй.

Нет, не может. Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма двух сторон больше третьей. Проверяем: 4 + 4 = 8, а должно быть строго больше 8. Значит, такого треугольника не существует.

Теорема: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: △ABC — равнобедренный, AB = BC (боковые стороны), AC — основание.

Доказать: ∠A = ∠C.

Доказательство (по учебнику Атанасяна)

Проведём биссектрису BD из вершины B к основанию AC.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

В них: AB = BC (по условию, треугольник равнобедренный).

BD — общая сторона.

∠ABD = ∠CBD (так как BD — биссектриса).

Значит, △ABD = △CBD по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, ∠A = ∠C. Что и требовалось доказать.

Задача (простейшая)

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол A = 50°. Найди угол C и угол B.

По теореме углы при основании равны: ∠C = ∠A = 50°.

Сумма углов треугольника равна 180°: ∠B = 180° − 50° − 50° = 80°.

Теорема: высота к основанию является биссектрисой и медианой

Теорема. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Дано: △ABC — равнобедренный, AB = BC, AC — основание, BD ⊥ AC (высота).

Доказать: BD — биссектриса (∠ABD = ∠CBD) и медиана (AD = DC).

Доказательство

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и CBD (углы BDA и BDC прямые, так как BD — высота).

В них: AB = BC (по условию).

BD — общий катет.

Значит, △ABD = △CBD по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует: AD = DC, то есть BD — медиана.

И ∠ABD = ∠CBD, то есть BD — биссектриса. Что и требовалось доказать.

Задача (простейшая)

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота BD. Известно, что AD = 6 см. Найди длину AC.

Так как BD — высота к основанию в равнобедренном треугольнике, то она также является медианой. Значит, D — середина AC.

AC = 2 · AD = 2 · 6 = 12 см.

Задача (чуть сложнее)

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота BD. Угол ABD = 35°. Найди угол ABC.

Так как BD — высота к основанию в равнобедренном треугольнике, она является биссектрисой. Значит, ∠ABC = 2 · ∠ABD = 2 · 35° = 70°.